Вообще я сделал бы сейчас так. Приехал в МРЭО, оформил ДКП (можно в вагончике, можно заранее постараться), после передать\получить деньги/документы (ПТС, СТС) и подождал бы когда новый владелец сдаст их в окошко для переоформления (там их проверяют). У вас в москве сейчас на проверку машину загоняют через 20 мин. после сдачи документов, можно также подождать результата проверки.
В моем случае, собственник после оформления ДКП в в вагончике при МРЭО передал мне доки и уехал, а менял СТС я уже сам, уехал на московских номерах к себе.