АКПП корпорации ZF или GM
Скорее всего ZF5HP30 , 5-ти ступенчатая АКПП, устанавливалась на автомобили BMW 540i (E34), 740i (E32, E38), 750i (E38) (классификация по BMW A5S560Z), Rolls Royce и Aston Martin.
" нагрелась сильно и передачи начали рывками включаться." - Трансмиссия довольно надёжная и служит без нареканий долго , очень долго , но года и условия эксплуатации сказываются. Диагностика нужна , не обязательно виновата сама АКПП , если толкается на всех передачах , возможна и неисправность в электрооборудовании авто.
"Попал на ремонт?" - ремонт стоит дорого ( в москве 100 и более) , поэтому не тяните , не ездите до упора , пока не развалится ( а она развалится , если будете с такими переключениями ездить) , а продиагностируйте для начала все системы.
" вроде как, не включается 3-я передача." - это по ощущениям , съездите к хорошему диагносту , пусть подключит сканер и покатается.